LEY de BETZ

Introducción

El viento llega a la turbina eólica con una cierta energía cinética y cederá parte de la misma a los álabes de la turbina para hacerla girar, por lo que al salir de ella lo hace con una menor energía cinética.

Cuanto mayor es la energía cinética extraída del viento por el aerogenerador, mayor será el frenado que sufre el viento que deja al aerogenerador por el lado izquierdo del dibujo. Si teóricamente fuese posible extraer toda la energía del viento, el aire saldría con velocidad nula, o sea que el aire no podría abandonar la turbina. En este caso no sería posible extraer ninguna energía, ya que tampoco entraría aire en el rotor del aerogenerador. El otro caso extremo, sería que el viento pasara por el tubo de viento sin ningún impedimento: tampoco  será posible extraer energía del viento.

Entre estos dos extremos existe un valor para el cual es más eficiente la conversión de la energía del viento en energía mecánica. Este valor se obtiene de la formulación de 1919, realizada por el físico alemán Albert Betz, y conocida como Ley de Betz.

Tesis de la Ley de Betz

Para obtener con un aerogenerador la máxima potencia del viento se deberá frenar al mismo en 1/3 de su velocidad y la máxima potencia es 0,59 veces la potencia que entrega el viento.

Demostración de la Ley de Betz

El viento llega a la turbina con una cierta energía cinética:

 Ec1 = ½ . m . v₁²   (1)

y entregará parte de esa energía a los álabes de la turbina haciéndola girar, por lo que sale de la turbina con la energía cinética siguiente :

Ec2 = ½ . m . v₂²    (1´)

La energía cinética entregada a la turbina por el viento, vendrá dada por la diferencia entre la energía cinética que tiene la masa de aire(viento) cuando entra, menos la que tiene cuando sale de la turbina, o sea :

Ect = ½ . m . v₁²  - ½ . m .  v₂²  =     ½ . m . (v₁² - v₂²  )        (2)

El caudal de aire que incide sobre los álabes de la turbina será:

Q = v . S      (3)

Donde Q es el caudal de aire en m3/seg,, v es la velocidad del viento sobre los álabes y S el área barrida por ellos.

Si ahora multiplicamos ambos miembros de la expresión (3) por la densidad del aire d, tenemos :

d . Q = d . v . S = m´           (4)

Donde m´ es la masa de aire(viento)que incide sobre el rotor por segundo.

Si ahora reemplazamos en la expresión (2) la masa m por la masa m´ que incide sobre el rotor por segundo, tendremos energía por unidad de tiempo, que no es otra cosa que la potencia de esa turbina de viento :

P = ½ . m´ . (v₁² - v₂²  )     (5)  

Si ahora aceptamos que la velocidad del viento en los álabes es igual al promedio de las velocidades del viento antes y después de entrar en la turbina :

v = (v₁+v₂)/2     (6)

Si ahora reemplazamos la expresión (6) en la (4), tenemos :

m´ = d . (v₁+v₂)/2 . S     (7)

Reemplazando la (7) en la (5), tendremos la siguiente expresión para la potencia extraída del viento:

___________________________

P =  (d/4) . (v₁² - v₂²) (v₁+v₂) . S         (8) *

___________________________

*Obsérvese que si  v_{1 =} v_2,  la potencia extraída del viento sería cero, lo cual es correcto.

La potencia total de una corriente de viento no perturbada a través de exactamente la misma área S, sin ningún rotor que bloquee el viento, será: (llamando a esta potencia P₀)

P₀ = (d/2) .  v₁³  .  S         (9) **

**  Obsérvese que esta expresión no se obtiene haciendo iguales las velocidades de entrada y salida en (8), porque no es un caso particular de ella, sino otro caso fisico. La (8) es la potencia que extrae la turbina del viento y la (9) es la potencia del viento sin perturbar, o sea  la potencia total del viento. Esta expresión se obtiene de la siguiente manera: 

Ec = ½ . m . v₁² 

d . Q = d . v . S = m

Ec = ½ . dvS . v₁²  = P₀ = (d/2) .  v₁³ .  S

Dividiendo (8) y (9) miembro a miembro entre si, obtenemos :

____________________________________

P / P₀ =  (1/2) . {1 - (v₂ / v₁)²) (1 + (v₂ / v₁)}              (10)

____________________________________

La expresión (10) nos indica cuantas veces la potencia total del viento puede ser extraída para mover los álabes de la turbina.

Podemos dibujar P /P₀ en función de v₂/v₁:

Podemos ver que la función alcanza su máximo para v₂/v₁ = 1/3= 0,333…, y que el valor máximo de la potencia extraída del viento es de 0,59 veces ó 16/27  la potencia total del viento.