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sábado, 20 de junio de 2015

MODULACIÓN (Modulation) – 2da Parte



Modulación angular
En el caso de modulación angular, se hace variar la frecuencia o la fase de la portadora en función de la señal modulante. Así la modulación angular tiene dos variantes: modulación de frecuencia, también llamada frecuencia modulada (FM) y modulación de fase (PM). En ambos casos, la amplitud de la onda modulada se mantiene constante.
Llamaremos:
ωc a la pulsación de la portadora sin modular y f c = ωc/ 2 π  a su frecuencia (ambas serán constantes);
ec(t) = Êc senωct a la portadora sin modular;             
em(t) a la señal modulante;
e(t) = Êc sen φ(t), a la señal modulada      (1)    
donde φ(t) = ωct + Ø(t), es su fase instantánea.
Dicha fase instantánea estará compuesta por la suma de dos componentes: ωct que varía linealmente en función del tiempo y Ø(t)  que es proporcional a la señal modulante, que a su vez también será función del tiempo. En ausencia de modulación: φ(t) = ωct.
La componente ωct puede ser considerada como la componente de portadora del angulo de fase instantáneo y Ø(t) como la componente de modulación.
La pulsación y la frecuencia instantáneas de la onda modulada vendrán dada por:
ω= d φ(t) / dt  (2)
f = (1/2π) d φ(t) / dt    (3)

Modulación de frecuencia
La modulación de frecuencia se produce variando la frecuencia instantánea de la onda modulada respecto a la frecuencia de portadora en forma proporcional a la señal modulante:
f = f c + K´ em(t)                   (4)
ω= ωc + K em(t)                 (5)
Reemplazando (5) en (2):
ωc + K em(t) = d φ(t) / dt     (6)

Despejando φ(t) de la (6) :
φ(t) = [ ωc + K em(t) ] dt

φ(t) = ωc t  + Kem(t) dt         (7)

Reemplazando φ(t)  dado por la (7) en la expresión general de la onda modulada con modulación angular dada por la (1):

e(t) = Êc sen [ ωc t  + Kem(t) dt ]      (8)

La (8) es la expresión general de la onda modulada en frecuencia, válida para cualquier forma de onda de la señal modulante.

Modulación de frecuencia con un tono de audio
Si ahora consideramos el caso particular en que la modulante sea cosinusoidal:

em(t) = Êm cos ωm t     (9)

Introduciendo la (9) em (8):

e(t) = Êc sen [ ωc t  + K Êm cos ωm t  dt ] 

Si resolvemos la integral, recordando que la integral del coseno de una variable (t) multiplicada por una constante (ωm), es el seno, sin cambiar el signo, de la variable multiplicada por la constante, dividido por la constante (ωm):

e(t) = Êc sen [ ωc t  + (K Êm/ωm) sen ωm t ]    (10)

La (10) es la expresión de la onda modulada en frecuencia (FM) con un tono de pulsación ωm y amplitud Êm y su representación gráfica se muestra en la Fig.1.

Fig.1 – Señal modulante y onda modulada en frecuencia con un tono
La fase instantánea dada por la (7), para una modulante cosinusoidal, se puede escribir de la siguiente manera:
φ(t) = ωc t  + Kem(t) dt  =  ωc t  + (K Êm/ωm) sen ωm t     (11)

Y la pulsación instantánea dada por la (5), para modulante cosinusoidal:

ω= ωc + K em(t) = K Êm cos ωm t   (12)

La frecuencia instantánea para modulante sinusoidal, dada por (4), se transforma en:

f = f c + K´ em(t) = f c + (K Êm/ 2π) cos ωm t           (13)

Llamaremos :
Δ φ = K Êm/ω(14)
Δω= K Êm           (15)
Δ f = K Êm/ 2π    (16)

(14), (15) y (16) representan la máxima desviación de la fase, pulsación y frecuencia instantáneas, respecto a la fase, pulsación y frecuencia de la portadora, respectivamente,

Definiremos al índice de modulación de frecuencia mf, como el cociente entre la máxima desviación de la frecuencia instantánea de la onda modulada respecto a la frecuencia de portadora Δ f y la frecuencia modulante fm.

mf = Δ f / fm     (17)

Considerando las ecuaciones (14), (15) y (16), la (17), puede escribirse también  así:

mf = Δ f / fm  =  K Êm/ 2π fm = K Êm/ ωm = Δω/ ωm =  Δ φ          (18)

Utilizando la (18), la expresión (10) se puede escribir así:

e(t) = Êc sen [ ωc t  + mf sen ωm t ]  (19)

Espectro de frecuencia de la señal de FM
 
Aplicando trigonometría, la (19) se puede escribir así:

e(t) = Êc [ sen ωc t  cos ( mf  sen ωm t )  +  cos ωc sen ( mf sen ωm t ) ]    (20)

Pero cos ( mf  sen ωm t ) y sen ( mf sen ωm t ) son desarrollables por medio de las funciones de Bessel:
                                             
                                    ∞
cos ( z sen θ ) = Jo (z) +2  Σ  J2n (z) cos 2n θ    (21)                                                
                            n=1
                     
sen ( z sen θ )  = 2  Σ J2n-1 (z) sen (2n-1) θ        (22)
                          n=1
 Haciendo:

z=mf
θ = ωm t

Reemplazando (21) y (22) en (20):

                                                          ∞                                                    ∞
e(t) = Êc {(senωc t) [Jo (mf) +2  Σ J2n (mf) cos 2nωm t] +(cos ωc t ) [ 2  Σ J2n-1 (z) sen (2n-1) ωm t ] }      
                                           n=1                                                                     n=1

Desarrollando, se tiene:

e(t) = Êc [Jo (mf) senωc t  + 2J1 (mf) senωm cos ωc t +
                                            + 2 J2 (mf) cos2ωm t senωc t +
                                            + 2 J3 (mf) sen3 ωc t cosωc t +
                                            + 2 J4 (mf) cos4 ωc t senωc t + ………….]        (23)

                                                   
En (23) se puede aplicar la identidad trigonométrica:

sen α . cos β = ½  [ sen(α + β) + sen (αβ)]

De esta forma la (23) nos quedará de la manera siguiente:

e(t) = Êc {Jo (mf) senωc t  + J1 (mf) [sen (ωc+ωm)t  - sen (ωc-ωm)t ] +
                                                   + J2 (mf) [sen (ωc+2ωm)t + sen (ωc-2ωm)t ] +
                                                   + J3 (mf) [sen (ωc+3ωm)t - sen (ωc-3ωm)t ] +
                                                   +………….]       (24)


Las funciones Jo (mf), J1(mf), J2(mf)...Jn (mf) son funciones de Bessel de primera especie, orden n y argumento mf. En la Fig.2 se muestra la representación gráfica de las funciones de Bessel de orden 0, 1, 2 y 3, en función de mf.

Fig.2 Representación gráfica de las cuatro primeras funciones de Bessel en función de mf.
En la ecuación (24) se ve que la señal modulada en frecuencia está compuesta por la portadora y un número infinito de bandas laterales de amplitudes ÊcJn(mf), separadas de la frecuencia de portadora f c por múltiplos de fm, hacia arriba y hacia debajo de ella, de modo que para evaluar la amplitud de una banda lateral determinada, es necesario conocer el valor de la función de Bessel correspondiente. En la Fig.3 se han representado en el plano de frecuencia la amplitud de la portadora y del primer par de bandas laterales. Esta representación será válida para un valor del índice de modulación mf. Cada vez que cambie mf, cambiarán todas las amplitudes del espectro de la señal de FM.

Fig.3 – Espectro en frecuencia de una señal de FM

Para sacar algunas conclusiones importantes, necesitamos analizar el comportamiento de funciones de Bessel de mayor orden que el 3, mostrado en la Fig. 2. En la Tabla 1 se dan los valores de las funciones Bessel de orden 0 a 16, para valores del argumento mf de 0 a 8 y, en la figura 4, se muestra la gráfica de las funciones de Bessel de orden 0 a 8, que corresponden a la portadora y a las amplitudes de las primeras ocho pares de bandas laterales para cada índices de modulación. el parámetro de cada curva debe ser interpretado como m=mf.

Tabla 1- El valor de cada función de Bessel para un valor de mf dado puede ser +/-, no obtante en la tabla no se ha incorporado dicho signo. Los guiones indican que las funciones de Bessel de ese orden son nulas para ese índice de modulación

Fig.4 – funciones de Bessel de orden 0 a 8. Obsérvese que cuanto menor sea mf, habrá menor cantidad de funciones de Bessel que tengan un valor distinto de cero. El “arranque” de las funciones de Bessel se va desplazando hacia la derecha, a medida que aumenta mf.

Observando la Fig.4, se puede ver que si consideramos un valor de mf=2, por ejemplo, tendrán un valor significativo las funciones de Bessel Jo (2), J1(2), J2(2), J3(2) y J4(2). Las funciones de Bessel de mayor orden, serán nulas.
Si ahora tomamos un valor de mf de 4, las funciones de Bessel significativas serán Jo, J1, J2, J3, J4, J5, J6, y J7.
Es decir que cuanto menor sea el índice de modulación, menor será la cantidad de funciones de Bessel con un valor significativo y menor será el número de bandas laterales significativas, por lo que menor será el ancho de banda que ocupe la señal de FM.
En base a este razonamiento, podemos establecer la siguiente ecuación, para expresar el ancho de banda necesario para la señal de FM:

B = 2nmax fm            (25)
Donde B es el ancho de banda, fm la frecuencia modulante y  nmax es el máximo orden de las funciones de Bessel significativas para el ídice de modulación que se utilice

Ejemplo
Calcular el ancho de banda necesario para una señal de FM con los siguientes datos:
fc = 97,5 MHz
Δ f = 10KHz
fm = 10KHz

 mf = Δ f / fm =  10/ 10 = 1   

Para mf=1, el mayor orden significativo de las funciones de Bessel em juego será nmax=3, según la Tabla 1. Tendremos que considerar que tenemos 3 pares de bandas laterales.
Usando la expresión  (25):

B = 2nmax fm  =  2x3x 10=  60 KHz       

Modulación digital de frecuencia
FSK (Frequency Shift Keying) (Manipulación por Desplazamiento de Frecuencia)
Esta es una forma de modular una portadora sinusoidal cuando la señal modulante es una señal digital. Al dígito binario 1 (marca) se le hace corresponder una frecuencia mayor que la de la portadora y al dígito binario 0 (espacio) una frecuencia menor que la de la portadora. O sea que la frecuencia de portadora, en ausencia de modulación, tendrá un valor intermedio entre ambas frecuencias moduladas por las señales de marca y espacio.

Fig.5 - FSK

 La expresión matemática de la señal modulada de FSK, sería:

e(t) = Êc sen [(ωc +/- Δω) t]            (26)

correspondiendo el signo (+) a marca y el signo (–) a espacio.


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