El dB (Decibel)

Definición

Definiremos al decibel, abreviadamente dB, como una expresión matemática para representar relaciones de potencia de manera conveniente, que nos permitirá simplificar los cálculos y las representaciones gráficas, con una forma de variación semejante a como varía la sensibilidad de los sentidos humanos.

(P2/P1) dB = 10 log (P2/P1)              (1)

Donde P1 y P2 son dos potencias que queremos comparar. Pueden ser potencias de señales eléctricas, de sonido, de luz, etc, pero siempre medidas en las mismas unidades para que su cociente sea adimensional. El logaritmo siempre debe ser en base 10.

La (1) es la expresión que define al decibel y nos dice que una relación de potencias expresada en decibeles es igual al número 10 multiplicado por el logaritmo del cociente entre las potencias.

Esto es todo lo que hay que decir para definir el decibel. Ahora tenemos que ver como se aplica y para que sirve.

1º Aplicación. Expresar la Ganancia de un amplificador de señal eléctrica

Tenemos un amplificador representado en la Fig.1, que tiene una ganancia de potencia G=P2/P1 y queremos expresar esa ganancia en dB.

Fig.1 – Amplificador de potencia

Si el amplificador funciona bien, P2> P1, por ejemplo 10 veces mayor. Entonces: G[dB] =10 log (P2/P1)= 10 log 10= 10dB, dado que por definición de logaritmo, el logaritmo de un número es igual al exponente al que hay que elevar la base para obtener el número. Como la base es 10 y el número también es 10, el exponente será 1. La ganacia del amplificador de este ejemplo será 10dB. Y como aquí no hay magia, la energía necesaria para lograrlo nuestro amplificador la obtuvo de la fuente de corriente contínua (o batería) que usamos para polarizarlo y por eso pudo entregarnos una potencia mayor a su salida que la que le aplicamos a su entrada.

2º Aplicación. Expresar la atenuación de una red pasiva constituida por resistencias puras

Fig.2 – Red de atenuación

Representaremos la atenuación de nuestra red resistiva pura con la letra A, de tal modo que podemos escribir lo siguiente:

A[dB] =10 log (P2/P1)

Si nuestra red atenúa la señal de potencia que le aplicamos, deberá ser P2 < P1, por ejemplo 10 veces menor. Entonces: P2/P1= 1/10 =0,1

A[dB] =10 log (P2/P1)= 10 log 0,1= - 10 dB , dado que el exponente al que hay que elevar la base para obtener el númeo es – 1. Esto quiere decir que cuando tenemos un atenuador, la atenuación en decibeles nos da un número negativo.

3º Aplicación. Expresar al dB de tal manera que sirva como unidad de potencia

Si convenimos en que sea P1 igual a un valor fijo de referencia, por ejemplo 1mW (1 milivatio), podemos decir que el valor que obtengamos de aplicar la expresión (1) nos va a indicar cuanto es mayor o menor P2 que 1mW. Si nos ponemos de acuerdo y cada vez que hacemos esto, a ( P2/P1) dB de la expresión (1), le llamamos (P/ 1mW) dB= P [dBm]= 10 log (P/1mW), podemos definir una nueva unidad de potencia: el dBm, donde m estará indicando que hemos adoptado esta convención.

P [dBm] = 10 log (P/1mW)    (2)

Hemos definido así una unidad de potencia llamada simplemente dBm, así como suena, pronunciando las tres letras. Pero si esta es una unidad de potencia debe ser convertible a vatios, o a milivatios. Y lo es, si reemplazamos P por 1mW, por ejemplo, tendremos que 1mW es equivalente a 0dBm, ya que el logaritmo de 1 es cero.

Si reemplazamos P por 2mW, tendremos que 2mW es equivalente a 3dBm, ya que el logaritmo de 2 es 0,3.

Preste atención al hecho de que el mW, tomado como referencia, fue hecho de una manera totalmente arbitraria, de modo que podría haberse tomado cualquier otra referencia y los conceptos desarrollados aquí para el dBm, podrían ser igualmente aplicados para otras definiciones basadas en otras referencias. 

4º Aplicación. Simplificación de las cuentas cuando se usa el dB

Consideremos un generador conectado a la entrada de un amplificador de potencia, que a su vez es conectado a una carga RL, mediante un cable coaxil, representando las pérdidas en dicho cable por medio de una red de atenuación, como se muestra en la Fig.3.

La potencia que entrega el generador la llamaremos PG[mW] y la expresamos en milivatios. Las potencias P1, P2 y PL también están expresadas en mW.  PG[mW] será igual a P1. Entonces podemos plantear la siguiente ecuación:

PG[mW ] x G x A = PL (3)

La (3) también la podemos escribir de la siguiente manera:

PG[mW ] x (P2/P1) x (PL/P2) = PL[mW] (4)

Aplicando logaritmos a cada miembro de la (4), tendremos:

Log PG[mW ] + Log (P2/P1) + Log (PL/P2) = Log PL[mW]  (5)

Multiplicando ambos miembros de la (5) por 10, tenemos:

 10 Log PG[mW ] + 10 Log (P2/P1) + 10 Log (PL/P2) =10 Log PL[mW]  (6)

Restando Log de 1mW en ambos miembros de la (6):

10 Log PG[mW ] – Log 1mW + 10 Log (P2/P1) + 10 Log (PL/P2) =10 Log PL[mW]  - Log 1mW  (7)

Pero a la (7) también la podemos escribir de la siguiente manera:

10 Log (PG[mW ] / 1mW) + Log 1mW + 10 Log (P2/P1) + 10 Log (PL/P2) = 10 Log (PL[mW] / 1mW )    (8)

Aplicando la (1) y la (2) a la (8), tenemos:

PG [dBm] + G [dB] + A [dB] = PL[dBm]    (9)

La expresión (9) nos está diciendo que si tenemos la potencia de un generador expresada en dBm, aplicada a un amplificador de potencia y conectado a su vez a una carga, por medio de un cable que presenta una ciera atenuación, la potencia en dBm que obtendremos en la carga será la suma de la potencia del generador en dBm sumada a las ganancias y atenuaciones de la red expresadas en dB. Poder hacer los cálculos por medio de sumas y restas, en lugar de multiplicaciones y divisiones, es una importante simplificación.

Fig.3 – Generador entregando potencia a un amplificador de potencia a una carga por medio de un cable

5º Aplicación. Expresar el decibel con tensiones o corrientes

Nos remitimos a la Fig.1, donde llamaremos R1 a la resistencia de entrada del amplificador y V2 a la tensión de entrada. R2 será  la resistencia de carga y V2 la tensión en la carga.

G[dB] = 10 Log (P2/P1)    (10)

P2 = V2²/R2

P1 = V1²/R1

Reemplazando estas dos expresiones en la (10):

G[dB] = 10 Log [(V2²/R2) / ( V1²/R1)]     (11)

Si R1=R2, se tiene:

G[dB] = 10 Log (V2²/ V1²)

Operando:

G[dB] = 20 Log (V2/ V1)   (12)

O sea que si las resistencias son iguales, podemos expresar la ganancia de potencia en función de las tensiones con la (12), pero si son diferentes deberemos expresarla con la (11).

Se pueden encontrar expresiones similares en función de las corrientes.

6º Aplicación. Utilización del concepto de decibel con sonido y con luz

a) Para la luz: en el caso de la luz se mide la potencia de la luz emitida por la fuente mediante un instrumento graduado en dBm y se calcula la atenuación producida por una fibra óptica en dB, de la misma forma que lo hemos explicado más arriba. El dBm es el mismo que hemos visto con una potencia de referencia igual a 1mW de potencia lumínica. Los instrumentos funcionan en base a la medición de la potencia lumínica con instrumentos que siguen determinadas normas y en base a usar como sensores fotodiodos, o midiendo el calor emitido por las fuentes lumínicas, como se hace en el caso del laser.

b)Para el sonido: los especialistas en sonido definen lo que llaman intensidad del sonido ( I ), que es igual a la potencia del sonido en la superficie donde se mide dividida por el área de dicha superficie:

 I = Potencia/Area=P/A. Entonces ellos definen lo que llaman simplemente decibel de la siguiente manera:

Decibel = 10 Log (I/ Io), donde Io es la mínima intensidad que puede oir el ser humano (10^-12 W/m² ) y llaman umbral de audición y ese valor corresponderá a cero decibeles.

Entonces están tomando una referencia, como hicimos con el dBm. Pero al dBm lo definimos para potencia. En realidad ellos también lo estan haciendo:

Decibel = 10 Log (I/ Io) = 10 Log [( P/A)/( Po/A)] = 10 Log (P/Po)

O sea que no hay contradicción con respecto a la definición de decibel que se hace para potencia.

Esta definición de decibel es util para trazar tablas donde se cataloga a cada ruido con un dterminado valor de decibeles acústicos, como la siguiente: